Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn. Công cụ dưới đây giải dạng hai căn bậc hai √(ax + b) ± √(cx + d) = e bằng phương pháp nâng lũy thừa: đặt điều kiện, cô lập một căn, bình phương lần một, cô lập căn còn lại, bình phương lần hai rồi thử lại để loại nghiệm ngoại lai – đúng trình tự sách giáo khoa Đại số 10.
Cách sử dụng
- Nhập a, b của căn thứ nhất; chọn dấu + hoặc −; nhập c, d của căn thứ hai và vế phải e.
- Bấm Giải phương trình. Nếu chỉ có một căn, dùng công cụ giải phương trình chứa căn.
Các phương pháp giải phương trình vô tỉ
1. Nâng lũy thừa (bình phương hai vế)
Dùng khi có một hoặc hai căn. Quy tắc: chỉ bình phương khi hai vế cùng không âm; sau mỗi lần bình phương phải ghi điều kiện của vế đã cô lập.
2. Đặt ẩn phụ
Khi phương trình chứa f(x) và √f(x): đặt t = √f(x) ≥ 0. Ví dụ x + √(x + 1) = 5 ⇒ t = √(x + 1), x = t² − 1 ⇒ t² + t − 6 = 0 ⇒ t = 2 ⇒ x = 3.
3. Nhân liên hợp
Khi đoán được nghiệm x₀, viết √A − k = (A − k²)/(√A + k) để làm xuất hiện nhân tử (x − x₀).
4. Đánh giá (bất đẳng thức)
Chứng minh VT ≥ m ≥ VP, dấu bằng xảy ra tại một giá trị x duy nhất.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: √(x + 1) + √(x − 4) = 5
ĐK x ≥ 4. Cô lập: √(x + 1) = 5 − √(x − 4). Bình phương: x + 1 = 25 − 10√(x − 4) + x − 4 ⇒ 10√(x − 4) = 20 ⇒ √(x − 4) = 2 ⇒ x = 8 (thoả ĐK, thử lại: 3 + 2 = 5 ✓).
Ví dụ 2: √(x + 5) − √x = 1
ĐK x ≥ 0. √(x + 5) = 1 + √x ⇒ x + 5 = 1 + 2√x + x ⇒ √x = 2 ⇒ x = 4. Thử lại: 3 − 2 = 1 ✓.
Ví dụ 3: √(3x + 1) − √(x − 1) = 2 (nghiệm ngoại lai)
ĐK x ≥ 1. Sau hai lần bình phương được x² − 6x + 5 = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = 5. Thử lại: x = 1 cho 2 − 0 = 2 ✓; x = 5 cho 4 − 2 = 2 ✓. Cả hai đều nhận – nhưng ở nhiều bài khác, một nghiệm sẽ bị loại ở bước này, vì vậy công cụ luôn thử lại.
Lỗi thường gặp
- Bình phương ngay tổng hai căn mà không cô lập, khiến biểu thức phức tạp và dễ sai.
- Không ghi điều kiện vế phải ≥ 0 trước lần bình phương thứ hai.
- Kết luận không thử lại, nhận nhầm nghiệm ngoại lai.