Giải phương trình bậc 3 online – có lời giải từng bước

Công cụ giải phương trình bậc 3 online giải phương trình ax³ + bx² + cx + d = 0 theo đúng cách trình bày trong trường phổ thông: nhẩm nghiệm hữu tỉ bằng định lý p/q, hạ bậc bằng sơ đồ Horner rồi giải tam thức bậc hai còn lại. Khi phương trình không có nghiệm hữu tỉ, công cụ chuyển sang công thức Cardano (hoặc công thức lượng giác khi có ba nghiệm thực) và ghi rõ từng đại lượng p, q, D để bạn đối chiếu.

Cách sử dụng

Đưa phương trình về dạng ax³ + bx² + cx + d = 0 (vế phải bằng 0).
Nhập bốn hệ số a, b, c, d; số hạng vắng mặt nhập 0.
Bấm Giải phương trình. Lời giải gồm: nhẩm nghiệm, bảng Horner, phương trình bậc hai còn lại, tập nghiệm thực (và nghiệm phức nếu có), bước thay nghiệm kiểm tra.

Lý thuyết cần nhớ

Định lý nghiệm hữu tỉ

Nếu phương trình có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ p/q (tối giản) thì p là ước của d và q là ước của a. Ví dụ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 chỉ có thể có nghiệm hữu tỉ trong {±1, ±2, ±3, ±6}.

Mẹo nhẩm nhanh: nếu a + b + c + d = 0 thì x = 1 là nghiệm; nếu a − b + c − d = 0 thì x = −1 là nghiệm.

Sơ đồ Horner

Để chia P(x) cho (x − x₀): viết các hệ số trên một hàng, hạ hệ số đầu xuống, rồi lần lượt nhân với x₀ và cộng với hệ số kế tiếp. Hàng cuối cho hệ số của thương, số cuối cùng là số dư (bằng 0 khi x₀ là nghiệm).

Công thức Cardano

Đặt x = t − b/(3a) để đưa về t³ + pt + q = 0, với p = (3ac − b²)/(3a²), q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³). Tính D = (q/2)² + (p/3)³:

D > 0: một nghiệm thực t = ∛(−q/2 + √D) + ∛(−q/2 − √D) và hai nghiệm phức liên hợp.
D = 0: có nghiệm bội (một nghiệm kép, một nghiệm đơn) hoặc nghiệm ba khi p = q = 0.
D < 0: ba nghiệm thực phân biệt, tính bằng công thức lượng giác t_k = 2√(−p/3)·cos(φ/3 − 2kπ/3).

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

1 − 6 + 11 − 6 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm. Horner: 1 | −5 | 6 | 0 ⇒ (x − 1)(x² − 5x + 6) = 0 ⇒ x² − 5x + 6 = 0 có Δ = 1 ⇒ x = 2, x = 3. Tập nghiệm S = {1; 2; 3}.

Ví dụ 2: 2x³ − 3x² − 3x + 2 = 0

2 + 3 − 3 − 2 = 0 (a − b + c − d) ⇒ x = −1 là nghiệm. Chia cho (x + 1) được 2x² − 5x + 2 = 0 ⇒ x = 2 hoặc x = 1/2. S = {−1; 1/2; 2}.

Ví dụ 3: x³ + x + 1 = 0

Không có nghiệm hữu tỉ (thử ±1 đều khác 0). p = 1, q = 1, D = 1/4 + 1/27 > 0 ⇒ một nghiệm thực x ≈ −0,6823 và hai nghiệm phức. Đây là dạng đề thường chỉ yêu cầu “chứng minh có duy nhất một nghiệm thực” bằng đạo hàm hoặc tính đơn điệu.

Giải phương trình bậc 3 bằng máy tính Casio

fx-580VN X: MENU → 9 → 2 (Polynomial) → chọn bậc 3 → nhập a, b, c, d → = để xem x₁, x₂, x₃ (máy hiển thị cả nghiệm phức).
fx-570VN Plus: MODE → 5 → 4 (ax³ + bx² + cx + d = 0).
Muốn trình bày tự luận, dùng máy để tìm nghiệm “đẹp” rồi thực hiện Horner trên giấy như lời giải của công cụ.

Lưu ý

Phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực (đồ thị hàm bậc ba đi từ −∞ đến +∞).
Khi hệ số là số thập phân, nhân cả phương trình với 10, 100… để về hệ số nguyên rồi mới nhẩm nghiệm.
Với đề chứa tham số m, công cụ chỉ tính được khi m đã cho giá trị cụ thể.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình bậc 3 có tối đa bao nhiêu nghiệm?

Tối đa 3 nghiệm thực và luôn có ít nhất 1 nghiệm thực. Trong tập số phức, phương trình bậc ba luôn có đúng 3 nghiệm (kể cả nghiệm bội).

Công cụ có hiển thị nghiệm phức không?

Có. Khi chỉ có một nghiệm thực, công cụ ghi thêm hai nghiệm phức liên hợp dạng a ± bi để bạn dùng nếu học chương trình số phức.

Nếu phương trình không có nghiệm hữu tỉ thì trình bày thế nào trong bài thi?

Đề thi phổ thông hầu như luôn cho phương trình có nghiệm hữu tỉ để hạ bậc. Nếu không, bài thường yêu cầu biện luận số nghiệm bằng đạo hàm hoặc dùng máy tính tìm nghiệm gần đúng; công thức Cardano ít khi phải trình bày.

Sơ đồ Horner là gì?

Là cách chia đa thức cho (x − x₀) bằng bảng số: hạ hệ số đầu, nhân với x₀, cộng với hệ số tiếp theo… Hàng cuối cho thương và số dư. Công cụ vẽ bảng này để bạn chép vào bài.