Công cụ giải phương trình bậc 4 online xử lý phương trình ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 theo đúng thứ tự tư duy của học sinh: nhận dạng trùng phương, đối xứng, thử nhẩm nghiệm hữu tỉ và hạ bậc bằng Horner (tối đa hai lần) để đưa về tam thức bậc hai. Nếu vẫn không được, công cụ tìm nghiệm bằng phương pháp số và nói rõ điều đó – không “làm tròn cho đẹp”.
Cách sử dụng
- Nhập đủ năm hệ số a, b, c, d, e (số hạng vắng mặt nhập 0; a phải khác 0).
- Bấm Giải phương trình. Công cụ tự chọn phương pháp và trình bày từng bước.
- Đọc phần “Kiểm tra lại”: mỗi nghiệm được thay ngược vào đa thức.
Các dạng phương trình bậc 4 và cách giải
| Dạng | Dấu hiệu | Cách giải |
|---|---|---|
| Trùng phương | b = d = 0 | Đặt t = x² ≥ 0, giải at² + ct + e = 0 |
| Đối xứng (hồi quy) | a = e, b = d | Chia cho x², đặt t = x + 1/x (|t| ≥ 2) |
| Có nghiệm hữu tỉ | Ước của e / ước của a là nghiệm | Horner hạ bậc hai lần → bậc hai |
| (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k | a + b = c + d | Ghép cặp, đặt ẩn phụ |
| Tổng quát | Không thuộc các dạng trên | Phương pháp Ferrari hoặc tìm nghiệm bằng máy tính |
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: x⁴ − 5x³ + 5x² + 5x − 6 = 0
Thử x = −1: 1 + 5 + 5 − 5 − 6 = 0 ⇒ nghiệm. Horner cho x³ − 6x² + 11x − 6, tiếp tục x = 1 ⇒ x² − 5x + 6 ⇒ x = 2, 3. Tập nghiệm S = {−1; 1; 2; 3}.
Ví dụ 2: x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1 = 0
Hệ số đối xứng (1, −4, 6, −4, 1). Chia cho x²: (x² + 1/x²) − 4(x + 1/x) + 6 = 0. Đặt t = x + 1/x ⇒ t² − 4t + 4 = 0 ⇒ t = 2 ⇒ x² − 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1 (nghiệm bội 4, vì đây là (x − 1)⁴).
Ví dụ 3: x⁴ + x³ − 1 = 0
Không có nghiệm hữu tỉ, không trùng phương, không đối xứng. Công cụ trả về hai nghiệm thực x ≈ −1,3803 và x ≈ 0,8192 cùng hai nghiệm phức, ghi rõ là nghiệm gần đúng.
Giải phương trình bậc 4 bằng máy tính Casio
fx-580VN X: MENU → 9 → 2 (Polynomial) → bậc 4 → nhập 5 hệ số → =. fx-570VN Plus chỉ hỗ trợ đến bậc 3: bạn cần nhẩm một nghiệm, hạ bậc bằng Horner rồi dùng chế độ bậc 3. Với bài tự luận, hãy trình bày cách nhận dạng (trùng phương/đối xứng/nhẩm nghiệm) như lời giải của công cụ.
Lỗi thường gặp
- Quên điều kiện t ≥ 0 khi đặt t = x² và nhận cả nghiệm t âm.
- Với dạng đối xứng, quên điều kiện |t| ≥ 2 (vì |x + 1/x| ≥ 2) nên nhận nghiệm t không cho x thực.
- Thử nhẩm nghiệm chưa hết các ước (kể cả phân số như ±1/2 khi a ≠ 1).