Giải hệ phương trình 3 ẩn online – có lời giải từng bước

Công cụ giải hệ phương trình 3 ẩn online tìm nghiệm (x; y; z) của hệ ba phương trình bậc nhất và trình bày đầy đủ lời giải: định thức D, D_x, D_y, D_z theo quy tắc Cramer và bảng ma trận sau từng phép biến đổi hàng của phương pháp khử Gauss. Đây là dạng bài quen thuộc trong chương trình Toán 10 (phần đại số tuyến tính cơ bản) và các môn Toán cao cấp ở đại học.

Cách dùng công cụ giải hệ 3 ẩn

Đưa mỗi phương trình về dạng a·x + b·y + c·z = d. Ẩn nào không xuất hiện thì hệ số bằng 0 (để trống ô).
Nhập 3 hàng hệ số, mỗi hàng 3 hệ số và 1 vế phải.
Bấm Giải hệ phương trình và đọc lời giải theo thứ tự: hệ đã nhập → Cách 1 định thức → Cách 2 khử Gauss → kết luận → kiểm tra lại.

Lý thuyết: hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Dạng tổng quát của hệ:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Mỗi phương trình biểu diễn một mặt phẳng trong không gian. Ba mặt phẳng có thể cắt nhau tại đúng một điểm (nghiệm duy nhất), cắt nhau theo một đường thẳng hoặc trùng nhau (vô số nghiệm), hoặc không có điểm chung (vô nghiệm).

Quy tắc Cramer cho hệ 3 ẩn

Gọi D là định thức của ma trận hệ số 3×3; D_x, D_y, D_z là định thức thu được khi thay cột hệ số của x, y, z bằng cột vế phải. Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = D_x/D, y = D_y/D, z = D_z/D

Định thức 3×3 tính theo quy tắc Sarrus: nhân ba đường chéo chính cộng lại, trừ đi tổng ba đường chéo phụ. Công cụ hiển thị từng định thức dưới dạng bảng để bạn dễ đối chiếu.

Phép khử Gauss

Từ ma trận mở rộng 3×4, chọn phần tử trụ có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong cột (đổi chỗ hàng nếu cần), khử các phần tử phía dưới, lặp lại cho cột tiếp theo để được ma trận bậc thang, rồi thế ngược từ hàng cuối lên. Nếu xuất hiện hàng dạng 0 = k với k ≠ 0, hệ vô nghiệm; nếu số hàng khác 0 nhỏ hơn 3, hệ vô số nghiệm.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1

x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2

D = 1·(1 − 2) − 1·(−2 − 1) + 1·(4 + 1) = −1 + 3 + 5 = 7. D_x = 7, D_y = 14, D_z = 21. Vậy x = 1, y = 2, z = 3. Thử lại: 1 + 2 + 3 = 6 ✓; 2 − 2 + 3 = 3 ✓; 1 + 4 − 3 = 2 ✓.

Ví dụ 2: hệ vô số nghiệm

x + y + z = 3; 2x + 2y + 2z = 6; x − y = 0

Phương trình thứ hai gấp đôi phương trình thứ nhất nên D = 0. Sau khi khử Gauss chỉ còn hai hàng khác 0: x = y = t, z = 3 − 2t với t tuỳ ý. Công cụ tự viết nghiệm tổng quát này.

Giải hệ 3 ẩn bằng Casio fx-580VN Plus

Bấm MENU → 9 (Equation/Func) → 1 (Simul Equation) → chọn 3 ẩn, nhập 12 hệ số theo hàng, mỗi số bấm =. Máy lần lượt hiển thị x, y, z. Với fx-570VN Plus dùng MODE 5 → 2. Nếu máy báo “Math ERROR” hãy kiểm tra lại các hệ số đã nhập đúng hàng chưa.

Lưu ý

Sắp xếp ẩn theo đúng thứ tự x, y, z ở mọi phương trình trước khi nhập.
Nếu đề cho hệ 3 phương trình nhưng chỉ 2 ẩn, hãy dùng công cụ giải hệ 2 ẩn với 2 phương trình rồi thử nghiệm vào phương trình còn lại.
Kết quả phân số được rút gọn tối giản; số thập phân làm tròn 6 chữ số có nghĩa.

Câu hỏi thường gặp

Công cụ có hiển thị cách tính định thức 3×3 không?

Có. Phần "Cách 1" hiển thị ma trận của D, Dx, Dy, Dz và giá trị từng định thức; bạn có thể tự tính lại bằng quy tắc Sarrus để đối chiếu.

Nếu hệ có ẩn không xuất hiện ở một phương trình thì nhập thế nào?

Để trống ô hệ số của ẩn đó (hoặc nhập 0). Ví dụ phương trình x − y = 0 nhập là 1, −1, 0 và vế phải 0.

Vì sao lời giải đổi chỗ hai hàng?

Phép khử Gauss chọn phần tử trụ có giá trị tuyệt đối lớn nhất để giảm sai số làm tròn và tránh chia cho 0. Đổi chỗ hàng không làm thay đổi nghiệm của hệ.

Có giải được hệ 3 phương trình có nghiệm là số thập phân vô hạn không?

Có. Nghiệm hữu tỉ được hiển thị dạng phân số tối giản; nghiệm vô tỉ hoặc phân số có mẫu lớn hiển thị dạng thập phân làm tròn.