Công cụ giải hệ phương trình 4 ẩn online dành cho hệ bốn phương trình bậc nhất với bốn ẩn x, y, z, t – dạng bài thường gặp trong Đại số tuyến tính, Toán cao cấp và các bài toán ứng dụng (cân bằng phản ứng hoá học, phân tích mạch điện, bài toán kinh tế). Thay vì tính tay 16 hệ số dễ sai, bạn nhập số liệu và nhận lời giải bằng phép khử Gauss có chọn phần tử trụ, mỗi bước đều hiển thị ma trận mở rộng để tiện kiểm tra.
Cách sử dụng
- Sắp xếp mỗi phương trình theo thứ tự ẩn x, y, z, t; ẩn vắng mặt có hệ số 0.
- Nhập 4 hàng, mỗi hàng gồm 4 hệ số và vế phải. Chấp nhận số âm, số thập phân.
- Bấm Giải hệ phương trình. Kết quả gồm ma trận ban đầu, từng phép biến đổi hàng, quá trình thế ngược và kết luận.
Phép khử Gauss cho hệ 4 ẩn
Hệ được viết thành ma trận mở rộng cỡ 4×5. Thuật toán gồm hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: khử xuôi
Với mỗi cột từ trái sang phải, chọn hàng có phần tử lớn nhất về giá trị tuyệt đối làm hàng trụ (đổi chỗ nếu cần), rồi trừ các hàng bên dưới đi một bội của hàng trụ để các phần tử dưới trụ bằng 0. Sau tối đa 3 lượt, ma trận có dạng tam giác trên.
Giai đoạn 2: thế ngược
Từ hàng cuối tính t, thay lên hàng 3 tính z, tiếp tục tính y rồi x. Nếu trong quá trình khử xuất hiện hàng toàn 0 nhưng vế phải khác 0, hệ vô nghiệm; nếu hàng toàn 0 kể cả vế phải, hệ có vô số nghiệm và công cụ sẽ đưa về dạng bậc thang rút gọn để viết nghiệm tổng quát theo các ẩn tự do.
Vì sao không dùng Cramer cho hệ 4 ẩn?
Quy tắc Cramer vẫn đúng, nhưng cần tính 5 định thức cấp 4, mỗi định thức khai triển thành 4 định thức cấp 3 – tổng cộng hàng trăm phép nhân, rất dễ sai khi làm tay. Phép khử Gauss chỉ cần khoảng 60 phép tính và cho biết ngay hệ có nghiệm hay không, nên đây là phương pháp chuẩn trong tính toán số.
Ví dụ có lời giải
x + y + z + t = 10
2x − y + z − t = −1
x + 2y − z + t = 6
3x + y + 2z − 2t = 3
Chọn hàng có hệ số 3 làm trụ đầu tiên, khử xuôi ba lượt rồi thế ngược, ta được x = 1, y = 2, z = 3, t = 4. Thử lại: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ✓; 2 − 2 + 3 − 4 = −1 ✓; 1 + 4 − 3 + 4 = 6 ✓; 3 + 2 + 6 − 8 = 3 ✓. Bấm Ví dụ mẫu để xem toàn bộ ma trận sau từng bước biến đổi của chính hệ này.
Giải hệ 4 ẩn bằng Casio fx-580VN X
Dòng fx-580VN X (ClassWiz) hỗ trợ tối đa 4 ẩn: MENU → 9 → 1 → 4, nhập 20 hệ số theo hàng, mỗi số bấm =. Dòng fx-570VN Plus chỉ giải được tối đa 3 ẩn, nên với hệ 4 ẩn bạn cần khử bớt một ẩn bằng tay hoặc dùng công cụ này.
Ứng dụng thực tế của hệ 4 ẩn
- Cân bằng phương trình hoá học: mỗi nguyên tố cho một phương trình, hệ số tỉ lượng là các ẩn.
- Mạch điện: định luật Kirchhoff cho hệ tuyến tính với dòng điện trong mỗi nhánh là ẩn.
- Nội suy đa thức bậc 3: tìm a, b, c, d của y = ax³ + bx² + cx + d đi qua 4 điểm.