Công cụ giải phương trình chứa căn online giải dạng cơ bản nhất của phương trình vô tỉ: √(ax + b) = cx + d. Lời giải trình bày đủ ba việc mà bài thi bắt buộc phải có: điều kiện (biểu thức dưới căn ≥ 0 và vế phải ≥ 0), bình phương hai vế, và đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai.
Cách sử dụng
- Nhập a, b (dưới căn) và c, d (vế phải). Nếu vế phải là hằng số, để c = 0.
- Bấm Giải phương trình.
Công thức cơ bản
√A = B ⇔ B ≥ 0 và A = B²
Điều kiện A ≥ 0 tự động thoả khi A = B² nên trong phép biến đổi tương đương chỉ cần B ≥ 0; tuy nhiên ghi cả hai điều kiện giúp bài làm rõ ràng và tránh mất điểm.
√A = √B ⇔ A = B ≥ 0
Các bước giải
- Đặt điều kiện: ax + b ≥ 0 và cx + d ≥ 0.
- Bình phương hai vế: ax + b = (cx + d)² ⇔ c²x² + (2cd − a)x + (d² − b) = 0.
- Giải phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất nếu c = 0).
- Đối chiếu điều kiện, thử lại vào phương trình gốc và kết luận.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: √(2x + 3) = x
Điều kiện x ≥ 0. Bình phương: 2x + 3 = x² ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = −1. Loại x = −1. S = {3}.
Ví dụ 2: √(x − 1) = x − 3
Điều kiện x ≥ 3. x − 1 = x² − 6x + 9 ⇔ x² − 7x + 10 = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = 2. Loại x = 2 (không thoả x ≥ 3). S = {5}.
Ví dụ 3: √(x + 2) = −2
Vế trái ≥ 0, vế phải âm ⇒ vô nghiệm ngay, không cần bình phương.
Lỗi thường gặp
- Bình phương mà không đặt điều kiện vế phải ≥ 0, dẫn đến nhận nghiệm ngoại lai.
- Quên khai triển đúng (cx + d)² = c²x² + 2cdx + d².
- Không thử lại: bình phương là phép biến đổi hệ quả nếu thiếu điều kiện, nên luôn kiểm tra.
Với phương trình có hai căn, dùng công cụ giải phương trình vô tỉ.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- √(x + 3) = 2 → x = 1.
- √(3x − 2) = x → ĐK x ≥ 2/3; x² − 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = 2 (cả hai nhận).
- √(2x + 1) = x − 1 → ĐK x ≥ 1; x² − 4x = 0 ⇒ x = 4 (loại x = 0).
- √(x − 4) = −1 → vô nghiệm.
Bấm máy tính Casio
Dùng chức năng SOLVE: nhập √(2X + 3) − X (ALPHA X), bấm SHIFT + SOLVE, nhập giá trị khởi đầu rồi =. Máy chỉ tìm được một nghiệm mỗi lần và không tự loại nghiệm ngoại lai, nên vẫn cần đối chiếu điều kiện như lời giải của công cụ.