Phương trình trùng phương là phương trình bậc bốn khuyết số hạng bậc ba và bậc nhất: ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0). Công cụ dưới đây giải bằng phép đặt ẩn phụ t = x², trình bày rõ bước biện luận t ≥ 0 – bước mà học sinh hay bỏ sót – rồi trở lại tìm x.
Cách sử dụng
- Nhập a (hệ số x⁴), b (hệ số x²), c (hệ số tự do).
- Bấm Giải phương trình. Lời giải có: phương trình theo t, Δ, các giá trị t, nhận/loại theo điều kiện t ≥ 0, nghiệm x = ±√t.
Các bước giải phương trình trùng phương
- Đặt t = x², điều kiện t ≥ 0. Phương trình trở thành at² + bt + c = 0.
- Giải phương trình bậc hai theo t (tính Δ = b² − 4ac).
- Với mỗi t ≥ 0: nếu t > 0 cho hai nghiệm x = ±√t; nếu t = 0 cho x = 0. Giá trị t < 0 bị loại.
- Kết luận tập nghiệm.
Biện luận số nghiệm
| Nghiệm theo t | Số nghiệm x |
|---|---|
| Hai nghiệm t dương phân biệt | 4 nghiệm |
| Một t dương, một t = 0 | 3 nghiệm |
| Một t dương, một t âm (hoặc t kép dương) | 2 nghiệm |
| Chỉ t = 0 | 1 nghiệm (x = 0) |
| Cả hai t âm hoặc Δ < 0 | Vô nghiệm |
Với bài toán tham số “tìm m để phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt”, điều kiện là phương trình theo t có hai nghiệm dương phân biệt: Δ > 0, S = −b/a > 0, P = c/a > 0.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: x⁴ − 13x² + 36 = 0
t² − 13t + 36 = 0 ⇒ Δ = 169 − 144 = 25 ⇒ t = 9 hoặc t = 4 (cả hai dương) ⇒ x = ±3, x = ±2. S = {−3; −2; 2; 3}.
Ví dụ 2: x⁴ + 3x² − 4 = 0
t² + 3t − 4 = 0 ⇒ t = 1 (nhận) hoặc t = −4 (loại) ⇒ x = ±1. S = {−1; 1}.
Ví dụ 3: x⁴ + 2x² + 5 = 0
t² + 2t + 5 = 0 có Δ′ = 1 − 5 < 0 ⇒ vô nghiệm theo t ⇒ phương trình vô nghiệm.
Bấm máy tính Casio
fx-580VN X giải trực tiếp bậc 4 (MENU 9 → 2 → bậc 4, nhập a, 0, b, 0, c). Với fx-570VN Plus, giải phương trình bậc hai theo t bằng MODE 5 → 3 rồi tự tính x = ±√t. Trên công cụ giải phương trình bậc 2 bạn cũng có thể giải phần theo t.
Lỗi thường gặp
- Quên loại t âm, dẫn đến nghiệm “x = ±√(−4)” vô nghĩa.
- Quên rằng mỗi t dương cho hai nghiệm x đối nhau.
- Nhầm phương trình trùng phương với bậc bốn tổng quát khi đề có số hạng bậc ba – khi đó dùng công cụ giải phương trình bậc 4.