Công cụ biện luận phương trình chứa tham số m online làm việc với phương trình (a₁m + a₀)x² + (b₁m + b₀)x + (c₁m + c₀) = 0: xét trường hợp hệ số a = 0, tính Δ theo m (một tam thức bậc hai theo m), rồi giải các bất phương trình Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 để tìm khoảng giá trị của m ứng với từng trường hợp số nghiệm. Công cụ còn tính điều kiện hai nghiệm trái dấu, cùng dấu theo hệ thức Vi-ét.
Cách sử dụng
- Viết mỗi hệ số dưới dạng bậc nhất theo m. Ví dụ x² − 2mx + m − 1 = 0: a = 0·m + 1, b = −2m + 0, c = m − 1.
- Nhập sáu hệ số a₁, a₀, b₁, b₀, c₁, c₀ và bấm Biện luận theo m.
Sơ đồ biện luận phương trình ax² + bx + c = 0 chứa tham số
- a = 0: phương trình thành bậc nhất bx + c = 0, biện luận theo b, c tại giá trị m đó.
- a ≠ 0: tính Δ = b² − 4ac (hoặc Δ′). Δ > 0: hai nghiệm phân biệt; Δ = 0: nghiệm kép x = −b/(2a); Δ < 0: vô nghiệm.
Điều kiện về dấu của nghiệm (Vi-ét)
| Yêu cầu | Điều kiện |
|---|---|
| Hai nghiệm trái dấu | a·c < 0 (P < 0) |
| Hai nghiệm cùng dấu | Δ ≥ 0 và P > 0 |
| Hai nghiệm dương | Δ ≥ 0, P > 0, S > 0 |
| Hai nghiệm âm | Δ ≥ 0, P > 0, S < 0 |
| Có nghiệm x = x₀ | Thay x₀ vào, giải theo m |
với S = x₁ + x₂ = −b/a, P = x₁x₂ = c/a.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: x² − 2mx + m − 1 = 0
a = 1 ≠ 0. Δ′ = m² − (m − 1) = m² − m + 1 > 0 với mọi m (Δ của tam thức theo m âm) ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm trái dấu ⇔ m − 1 < 0 ⇔ m < 1.
Ví dụ 2: (m − 1)x² + 2x + m = 0
m = 1: 2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2. m ≠ 1: Δ′ = 1 − m(m − 1) = −m² + m + 1. Hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ′ > 0 ⇔ (1 − √5)/2 < m < (1 + √5)/2 và m ≠ 1; nghiệm kép ⇔ m = (1 ± √5)/2; vô nghiệm ⇔ m < (1 − √5)/2 hoặc m > (1 + √5)/2.
Lỗi thường gặp
- Quên xét trường hợp hệ số a = 0 khi a chứa m.
- Tính Δ sai dấu khi khai triển (b₁m + b₀)².
- Kết luận “hai nghiệm phân biệt” mà không loại giá trị m làm a = 0.
- Nhầm điều kiện trái dấu (chỉ cần P < 0, không cần xét Δ vì khi đó Δ > 0 tự động).