Công cụ giải phương trình lượng giác online giải các phương trình cơ bản sin(kx + φ) = m, cos(kx + φ) = m, tan(kx + φ) = m, cot(kx + φ) = m. Với giá trị đặc biệt (1/2, √2/2, √3/2, √3…), nghiệm được viết chính xác theo π (hoặc theo độ) đúng như đáp án sách giáo khoa; với giá trị khác, nghiệm viết qua arcsin, arccos, arctan.
Cách sử dụng
- Chọn hàm (sin/cos/tan/cot), nhập k, φ và m. Có thể nhập biểu thức:
√3/2,−1/2,π/3. - Chọn đơn vị góc (radian hoặc độ) cho φ và cho nghiệm.
- Bấm Giải phương trình. Kết quả gồm công thức nghiệm tổng quát và các nghiệm trong một chu kỳ [0; 2π).
Công thức nghiệm cơ bản (k ∈ ℤ)
| Phương trình | Nghiệm | Điều kiện |
|---|---|---|
| sin u = sin α | u = α + k2π hoặc u = π − α + k2π | |m| ≤ 1 |
| cos u = cos α | u = ±α + k2π | |m| ≤ 1 |
| tan u = tan α | u = α + kπ | u ≠ π/2 + kπ |
| cot u = cot α | u = α + kπ | u ≠ kπ |
Bảng giá trị lượng giác đặc biệt
| Góc | 0 | π/6 (30°) | π/4 (45°) | π/3 (60°) | π/2 (90°) |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
| cot | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: sin(2x + π/3) = 1/2
α = π/6. 2x + π/3 = π/6 + k2π ⇒ x = −π/12 + kπ; 2x + π/3 = 5π/6 + k2π ⇒ x = π/4 + kπ.
Ví dụ 2: cos x = −√2/2
α = 3π/4 (135°). x = ±3π/4 + k2π.
Ví dụ 3: tan x = √3
x = π/3 + kπ.
Ví dụ 4: sin x = 0,3
Không đặc biệt: x = arcsin 0,3 + k2π hoặc x = π − arcsin 0,3 + k2π (arcsin 0,3 ≈ 0,3047).
Các dạng nâng cao
- a·sin x + b·cos x = c: chia hai vế cho √(a² + b²), đưa về sin(x + α) = c/√(a² + b²); có nghiệm khi a² + b² ≥ c².
- Bậc hai theo một hàm: 2sin²x − 3sin x + 1 = 0, đặt t = sin x ∈ [−1; 1].
- Đẳng cấp: a·sin²x + b·sin x cos x + c·cos²x = 0, chia cho cos²x đưa về tan x.
Bấm máy tính Casio
Đặt đơn vị góc đúng (D hoặc R) trước khi bấm. Tìm α bằng SHIFT + sin/cos/tan. Kiểm tra nghiệm: thay x vừa tìm vào hàm. Trên máy tính online chuyển RAD rồi nhập sin⁻¹(0.5).
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- 2sin x − √3 = 0 → sin x = √3/2 ⇒ x = π/3 + k2π hoặc x = 2π/3 + k2π.
- cos(2x − π/6) = 0 → 2x − π/6 = π/2 + kπ ⇒ x = π/3 + kπ/2.
- tan(x + 45°) = 1 → x + 45° = 45° + k180° ⇒ x = k180°.
- cot 3x = −√3 → 3x = −π/6 + kπ ⇒ x = −π/18 + kπ/3.
- sin x = 1,2 → vô nghiệm.
Lỗi thường gặp
- Nhầm đơn vị: đề cho độ nhưng máy tính đang ở radian (hoặc ngược lại).
- Quên họ nghiệm thứ hai của sin (π − α) và cos (−α).
- Chia chu kỳ cho k khi rút x: sin(2x) có chu kỳ π chứ không phải 2π.
- Không đối chiếu điều kiện xác định của tan, cot khi phương trình có mẫu.