Nhiều bài toán không chỉ yêu cầu giải phương trình mà còn kèm điều kiện của ẩn: nghiệm dương, nghiệm nguyên, nghiệm thuộc đoạn [m; n], hoặc điều kiện xác định sinh ra từ căn thức, mẫu thức, logarit. Công cụ giải phương trình có điều kiện online giải phương trình bậc nhất/bậc hai rồi đối chiếu từng nghiệm với điều kiện để kết luận đúng tập nghiệm.
Cách sử dụng
- Nhập hệ số a, b, c của ax² + bx + c = 0 (a = 0 nếu bậc nhất).
- Chọn loại điều kiện và nhập m (và n nếu cần).
- Bấm Giải phương trình.
Điều kiện của ẩn đến từ đâu?
| Nguồn | Điều kiện |
|---|---|
| Mẫu thức A/B | B ≠ 0 |
| Căn bậc hai √A | A ≥ 0 |
| Logarit logₐA | A > 0 |
| Bài toán thực tế (độ dài, số người, tuổi…) | x > 0, x nguyên |
| Đề yêu cầu nghiệm trên khoảng | x ∈ (m; n) |
Các bước giải
- Xác định điều kiện (ĐK) của ẩn – ghi rõ trước khi giải.
- Giải phương trình như bình thường.
- So từng nghiệm với ĐK: nhận nếu thoả, loại nếu không.
- Kết luận tập nghiệm. Nếu phương trình đúng với mọi x, tập nghiệm chính là tập ĐK.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: x² − 5x + 6 = 0 với x > 2,5
Nghiệm x = 2 và x = 3. Loại x = 2 (không thoả). S = {3}.
Ví dụ 2: 2x² − 3x + 1 = 0, x nguyên
Nghiệm x = 1 và x = 1/2. Loại 1/2. S = {1}.
Ví dụ 3 (bài toán thực tế)
Một hình chữ nhật có chu vi 28 m, diện tích 48 m². Gọi chiều dài x (x > 0): x(14 − x) = 48 ⇔ x² − 14x + 48 = 0 ⇔ x = 6 hoặc x = 8. Cả hai dương; chọn chiều dài 8 m, rộng 6 m.
Lỗi thường gặp
- Giải xong quên đối chiếu, kết luận cả nghiệm không thoả điều kiện.
- Đặt điều kiện sai chiều (x ≥ m thay vì x > m) làm nhận/loại nhầm giá trị biên.
- Với bài thực tế, quên điều kiện x nguyên hoặc x dương.
Bài toán thực tế thường gặp
- Chuyển động: gọi vận tốc x (km/h), x > 0. Ví dụ ô tô đi 120 km, nếu tăng vận tốc 10 km/h thì đến sớm 24 phút: 120/x − 120/(x + 10) = 0,4 ⇒ x² + 10x − 3000 = 0 ⇒ x = 50 (nhận) hoặc x = −60 (loại).
- Năng suất: gọi số sản phẩm mỗi ngày x, x nguyên dương.
- Hình học: độ dài cạnh x > 0; với tam giác còn cần bất đẳng thức tam giác.
- Tuổi, số người: x nguyên dương và thường có giới hạn trên hợp lý.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- x² − 7x + 12 = 0 với x < 3,5 → S = {3}.
- 2x² + x − 6 = 0 với x nguyên → S = {−2}.
- x² − 4 = 0 với 0 ≤ x ≤ 10 → S = {2}.
- 3x − 9 = 0 với x ≠ 3 → vô nghiệm.