Công cụ giải phương trình chứa ẩn ở mẫu online giải dạng (a₁x + b₁)/(c₁x + d₁) = (a₂x + b₂)/(c₂x + d₂) theo đúng bốn bước của chương trình Toán 8: tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ), quy đồng và khử mẫu, giải phương trình nhận được, đối chiếu ĐKXĐ. Mỗi nghiệm bị loại đều được nêu lý do.
Cách sử dụng
- Nhập tử và mẫu của mỗi vế dưới dạng bậc nhất. Vế là hằng số k: tử 0·x + k, mẫu 0·x + 1.
- Nếu đề có nhiều phân thức cộng trừ, quy đồng về một phân thức mỗi vế trước khi nhập.
- Bấm Giải phương trình.
Điều kiện xác định
Phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu khác 0. ĐKXĐ của phương trình là tập các x làm mọi mẫu thức đều khác 0. Ví dụ với mẫu x − 1 và x + 2: ĐKXĐ là x ≠ 1 và x ≠ −2. Nghiệm cuối cùng bắt buộc phải thoả ĐKXĐ.
Các bước giải
- Tìm ĐKXĐ.
- Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu (nhân chéo khi mỗi vế là một phân thức).
- Giải phương trình vừa nhận được (bậc nhất hoặc bậc hai).
- Đối chiếu ĐKXĐ: nghiệm nào làm mẫu bằng 0 thì loại. Kết luận tập nghiệm.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1: (x + 2)/(x − 1) = 3
ĐKXĐ x ≠ 1. Khử mẫu: x + 2 = 3(x − 1) ⇔ x + 2 = 3x − 3 ⇔ x = 5/2 (thoả). S = {5/2}.
Ví dụ 2: 2/(x − 2) = x/(x − 2)
ĐKXĐ x ≠ 2. Khử mẫu: 2 = x ⇒ x = 2, nhưng x = 2 vi phạm ĐKXĐ ⇒ phương trình vô nghiệm. Đây là ví dụ kinh điển cho việc bắt buộc đối chiếu điều kiện.
Ví dụ 3: (x + 1)/(x − 2) = (x − 3)/(x + 4)
ĐKXĐ x ≠ 2, x ≠ −4. Nhân chéo: (x + 1)(x + 4) = (x − 3)(x − 2) ⇔ x² + 5x + 4 = x² − 5x + 6 ⇔ 10x = 2 ⇔ x = 1/5 (thoả).
Lỗi thường gặp
- Không tìm ĐKXĐ hoặc tìm thiếu một mẫu.
- Khử mẫu bằng cách “bỏ mẫu” mà không nhân đúng với mẫu chung.
- Kết luận nghiệm vi phạm ĐKXĐ.
Mẹo quy đồng khi có nhiều phân thức
Đề dạng 1/(x − 1) + 2/(x + 1) = 3/(x² − 1): phân tích x² − 1 = (x − 1)(x + 1) để tìm mẫu chung (x − 1)(x + 1). Quy đồng: (x + 1) + 2(x − 1) = 3 ⇔ 3x − 1 = 3 ⇔ x = 4/3 (thoả ĐKXĐ x ≠ ±1). Sau khi quy đồng về một phân thức mỗi vế, bạn có thể nhập vào công cụ.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- (x − 3)/(x + 1) = 2 → ĐKXĐ x ≠ −1; S = {−5}.
- (2x + 1)/(x − 3) = (x + 5)/(x − 3) → ĐKXĐ x ≠ 3; 2x + 1 = x + 5 ⇒ x = 4; S = {4}.
- x/(x − 2) = 2/(x − 2) → ĐKXĐ x ≠ 2; x = 2 bị loại ⇒ vô nghiệm.
- (x + 1)/(x − 1) = (x + 3)/(x + 2) → ĐKXĐ x ≠ 1, x ≠ −2; S = {−5}.